Harilik lineaarne regressioonmudel

10. Vabaliikme olemasolu

Hariliku lineaarse regressioonmudeli \(y_i=ax_i+b+u_i\) parameetrit b nimetatakse eesti keeles vabaliikmeks. Inglise keeles kasutatakse tähistust const, mis tähendab, et see liidetav on mudelis konstantne. Ülejäänud liidetavad on erinevatel objektidel erinevad, sest x_ija u_i on erinevatel objektidel erinevad.

Vabaliikme statistilist olulisust regressioonmudelis üldiselt ei vaadata. Kui ka vabaliige on statistiliselt mitteoluline, ilma vabaliikmeta mudelit üldiselt ei kasutata. Vabaliikme olemasolu on vajalik vähimruutude meetodi rakendamise seisukohalt. Vabaliige garanteerib, et regressioonijääkide summa

\(\sum\limits_i {{u_i}} = 0\)

Mitmete regressioonanalüüsi käigus leitavate suuruste valemite (nt determinatsioonikordaja) tuletamisel kasutatakse seda omadust.

Mõnikord tuleb siiski hinnata lineaarset mudelit, kus teatud kaalutlustest lähtudes peab vabaliige puuduma. Seda nimetatakse regressiooniks läbi nullpunkti (Regression Through the Origin, RTO) ja sellise mudeli üldkuju ühe seletava tunnuse korral on

\(y=ax+u\)

See tähendab, et mudeli deterministlik komponent on võrdeline seos \(\hat y = ax\). Näiteks \( \hat y=2x\)

Regressioonjoont läbi nullpunkti kasutatakse näiteks peatükis 6 vaadeldud finantsvarade hindamise CAPM mudelis INV = β TP + u.

Üks näide sellise mudeli kohta. Ajakirjas Journal of Environmental Horticulture 2006. aastal ilmunud artiklis (Lu, W. et al) analüüsiti, kuidas puukoore tootmine sõltub metsaraie mahust. Kasutati andmeid USA erinevatest piirkondadest aastatel 1986-2001. Kui metsa ei raiuta, siis puukoort turule ei tule. See tähendab, et kui raiemaht on 0, siis ka puukoore tootmine on 0. Seepärast kasutati ilma vabaliikmeta lineaarset mudelit

y=ax+u,

kus y on kuiva puukoore kogus (tuh tonni) ja x raiemaht antud piirkonnas (mln kuupjalga). USA kirdeosa jaoks saadi:

lehtpuu \(\hat y = 0,89x\)

okaspuu \(\hat y = 1,01x\)

Vabaliikmeta mudelit võib kasutada juhul, kui on täidetud kaks tingimust:

vabaliikmega mudelis on see statistiliselt mitteoluline;
vabaliikme puudumine mudelist on teoreetiliselt põhjendatud.

Ja sellise mudeli hindamisel tuleb kindlasti eraldi testida, kas \(\sum\limits_i {u_i} = 0\) ? Determinatsioonikordaja kasutamine vabaliikmeta mudeli korral on probleemne, sest puudub ühtne lähenemine selle arvutamiseks: pole võimalik arvutada jääkhajuvust iseloomustavat ruutude summat RSS. Erinevad ökonomeetriapaketid arvutavad erinevalt.