Ujukomatehted

Lühike ülevaade ujukomaarvude (ujupunktarvude) esitusviisidest ja põhitehetest. Lisaks on toodud lingid täiendavale infomaterjalile.

1. Üldine esitusviis

Ujukomaarv (ujupunktarv) - M*B^E, kus M - mantiss (tüvi, significand, mantissa), E - eksponent (astendaja, exponent), B - baas (alus, base). Tavakäsitluses on baasiks 10 ja nii mantiss kui ka eksponent on 10-ndarvud - mantiss reaalarv ja exponent täisarv. Mõnikord on kasutusel ka märk (sign) S. Siin on mantiss positiivne ja ujukomaarv on esitatud kui (-1)^S*M*B^E.

Arvutites ja digitaalsüsteemides on reeglina kasutusel kahendsüsteem - B=2 ning M ja E on kahendarvud, S üksik bitt. Konkreetne mantissi ja eksponendi bittide arv sõltub formaadist (vt. nt. IEEE-754 standardit). Samuti on mantiss reeglina murdarv ja kindlas vahemikus (normeeritud).

Lihtsuse huvides on näidetes kasutusel formaat, kus eksponent on 4 bitti ja mantiss 8 bitti (või 7 bitti pluss märk). Mantiss on normeerituna 0,5≤|M|<1.

Märgiga mantiss (täiendkood, eraldi märk puudub):

10-arv M₁₀*10^E₁₀ 2-arv M₂*2^E₂ M₂ E₂ [M₁₀*2^E₁₀] [10-arv]

2,5 0,25*10¹ 10.1 0.101*2¹⁰ 0.1010000 0010 0,625*2² 2,5

1,1 0,11*10¹ 1.0(0011) 0.10(0011)*2¹ 0.1000110 0001 0,546875*2¹ 1,09375

-2,2 -0,22*10¹ -10.(0011) -0.10(0011)*2¹⁰ 1.0111010 0010 -0,546875*2² 2,1875

-0,056 -0,56*10^-1 -0.0000111001010110... -0.111001010110...*2^-100 1.0001110 1100 -0,890625*2^-4 -0,0556640625

Positiivne mantiss, märk eraldi:

10-arv M₁₀*10^E₁₀ 2-arv M₂*2^E₂ S M₂ E₂ [M₁₀*2^E₁₀] [10-arv]

2,5 0,25*10¹ 10.1 0.101*2¹⁰ 0 .1010000 0010 0,625*2² 2,5

1,1 0,11*10¹ 1.0(0011) 0.10(0011)*2¹ 0 .1000110 0001 0,546875*2¹ 1,09375

-2,2 -0,22*10¹ -10.(0011) -0.10(0011)*2¹⁰ 1 .1000110 0010 -0,546875*2² 2,1875

-0,056 -0,56*10^-1 -0.0000111001010110... -0.111001010110...*2^-100 1 .1110010 1100 -0,890625*2^-4 -0,0556640625

Näidetes on edaspidi kasutusel formaadid "mmmm...m|ee..e" (märgiga mantiss ja eksponent) ja "s|mmm...m|ee..e" (märk, mantiss ja eksponent). Erinevates realisatsioonides (nt. IEEE-754) võivad väljad olla sõnas teistsuguses järjestuses.

Tasuks ka märkida, et normeeritud märgita mantissi puhul on vanim bitt alati '1'. Seda omadust kasutab ära IEEE-formaat, kus seda bitti ei salvestata ja sisuliselt on mantissis üks bitt lisaks. Samas on vaja lisakodeeringut eristamaks normeeritud ja normeerimata mantsisse. Allpool toodud märgita mantissi näidetes seda omadust ei kasuta ja normeerimata mantissi tunneb ära sellest, et vanim järk ei ole '1'.

2. Tehted (märgiga mantiss)

Tehete realiseerimisel on aluseks esitusviis M*2^E, mille puhul peab arvestama alljärgnevaga.

Liitmisel ja lahutamisel peavad eksponendid (astendajad) olema võrdsed, et mantisse saaks liita (lahutada).
Korrutamisel mantissid korrutatakse ja eksponendid liidetakse.
Jagamisel mantissid jagatakse ja eksponendid lahutatakse.

Liitmisel/lahutamisel on võib olla vajalik ühe mantissi denormeerimine (eksponentide võrdsustamiseks). Kõikide tehete puhul võib vaja minna tulemuse mantissi normeerimist koos eksponendi korrigeerimisega.

Järgnevates näidetes on operandid ja tulemused esitatud mantissi ja eksponendi abil - A = M_A * 2^E_A, B = M_B * 2^E_B ja R = M_R * 2^E_R.

2.1. Liitmine ja lahutamine

A+B või A-B arvutamisel mantisside liitmiseks (või lahutamiseks) peavad eksponendid olema võrdsed, et neid saaks sulgude ette tuua. Reeglina on operandidel erinevad eksponendid ja nende võrdustamiseks tuleb kasutada ühe operandi mantissi denormeerimist. Nt. 6,0 == 0,75*2³ == 1,5*2² == 0,375*2⁴. Mantissi üritatakse reeglina hoida <1, et ei oleks vaja täiendavaid bitte komast (punktist) vasakule. Seetõttu on otstarbekas jätta suurema eksponendiga operand muutmata ja korrigeerida väiksema eksponendiga operandi mantissi ja operandi. Tulemuse eksponent on siis sama, mis suurem eksponent, kuigi võib tekkida vajadus korrigeerida nii mantissi kui ka eksponenti, kui mantiss ei ole normeeritud. Seega saaks liitmisel toimuvad mantissi ja eksponendi teisendused kirja panna järgmiselt:

Kui E_A>E_B, siis A+B == M_A*2^E_A + M_B*2^E_B == M_A*2^E_A + M_B*2^E_B-E_A+E_A == M_A*2^E_A + M_B*2^E_B-E_A*2^E_A == M_A*2^E_A + (M_B/2^E_A-E_B)*2^E_A == M_A*2^E_A + (M_B>>(E_A-E_B))*2^E_A == (M_A+(M_B>>(E_A-E_B)))*2^E_A - B mantissi nihutatakse paremale E_A-E_B bitti ja tulemuse eksponendiks on E_A.
Kui E_A<E_B, siis vastupidi, st. A+B == M_A*2^E_A + M_B*2^E_B == M_A*2^E_A-E_B+E_B + M_B*2^E_B == ((M_A>>(E_B-E_A))+M_B)*2^E_B - A mantissi nihutatakse paremale E_B-E_A bitti ja tulemuse eksponendiks on E_B.

Lahutamisel toimub mantisside ja eksponentide korrigeerimine täpselt samamoodi. Nii liitmisel kui ka lahutamisel võib olla vajalik järgnev mantissi normeerimine ja eksponendi korrigeerimine. Suurim mantissi absoluutväärtus on väiksem 2,0-st ja sellepärast on vajalik lisabitt täisarvulisse ossa (või märgibiti laiendus). Väikseim mantissi absoluutväärtus võib olla 0, nt. võrdsete mantisside lahutamisel. Samuti on kasutusel lisabitid murdosas ümardamise tarbeks (antud näidetes lihtsuse huvides ainult üks lisabitt). Kui mantiss on märgiga päsikomaarv ja kasutusel on täiendkood, siis lahutamine toimub nii nagu täisarvudegagi.

Näited

1) 2,5 + 1,1 = 3,6

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0.1010000 | 0010 0.1000110 | 0001 E_A>E_B --> M_B>>1 & E_B+1, pluss lisabitid

00.10100000 | 0010 00.01000110 | 0010 00.11100110 | 0010 M_A+M_B, 0.5≤|M_R|<1 --> OK, ka ümardada pole vaja

0.1110011 | 0010 3,59375₁₀

2) 2,5 - 2,2 = 0,3

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0.1010000 | 0010 0.1000110 | 0010 E_A=E_B --> OK, pluss lisabitid

00.10100000 | 0010 00.10001100 | 0010 00.00010100 | 0010 M_A-M_B, |M_R|<0.5 --> M_R<<3 & E_R-3

0.1010000 | 1111 0,3125₁₀

3) 1,1 - 1,1 = 0,0 -- nulli esitamine?

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0.1000110 | 0001 0.1000110 | 0001 E_A=E_B --> OK, pluss lisabitid

00.10001100 | 0001 00.10001100 | 0001 00.00000000 | 0001 M_A-M_B, (|M_R|<0.5) |M_R|=0 --> erijuht, sest M_R nihutamine viib alatäitumisele!

0.00000000 | 0000 0,0₁₀ - eri formaadid võivad erinevalt käsitleda

2.2. Korrutamine

Korrutamisel mantissid korrutatakse ja eksponendid liidetakse - A*B == M_A*2^E_A * M_B*2^E_B == (M_A*M_B)* (2^E_A*2^E_B) == (M_A*M_B)*2^E_A+E_B. Vajadusel võib järgneda mantissi nihutamine vasakule ühe biti võrra (normeerimine) ja eksponendi dekrementeerimine, sest mantisside korrutise absoluutväärtus jääb 0,25 ja 1,0 vahele - 0,25≤|M_R|<1.

Järgnevates näidetes on eeldatud, et kasutusel on mantissi korrutamiseks 8x8-bitine püsikomaarvude korrutaja (märk ja 7 järku pärast koma), mille tõttu tuleb tulemusest 7 noorimat järku "ära hammustada" ja/või ümardada.

Näited

1) 2,5 * 1,1 = 2,75

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0.1010000 | 0010 0.1000110 | 0001 00.01010111100000 | 0011 |M_R|<0.5 --> M_R<<1 & E_R-1

0.1010111 | 0010 2,71875₁₀ - lõigatud

0.1011000 | 0010 2,75₁₀ - ümardatud

2) 1,1 * (-2,2) = -2,42

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0.1000110 | 0001 1.0111010 | 0010 11.10110011011100 | 0011 |M_R|<0.5 --> M_R<<1 & E_R-1

1.0110011 | 0010 -2,40625₁₀ - lõigatud

1.0110010 | 0010 -2,4375₁₀ - ümardatud

3) (-2,2) * (-0,056) = 0,1232

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

1.0111010 | 0010 1.0001110 | 1100 00.01111100101100 | 1110 |M_R|<0.5 --> M_R<<1 & E_R-1

0.1111100 | 1101 0,12109375₁₀ - lõigatud

0.1111101 | 1101 0,1220703125₁₀ - ümardatud

4) 0,8 * 0,8 = 0,64

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0.1100110 | 0000 0.1100110 | 0000 00.10100010100011 | 0000 0.5≤|M_R|<1 --> OK

0.1010001 | 0000 0,6328125₁₀ - lõigatud==ümardatud

2.3. Jagamine

Jagamisel mantissid jagatakse ja eksponendid lahutatakse - A*B == M_A*2^E_A / M_B*2^E_B == (M_A/M_B)* (2^E_A/2^E_B) == (M_A/M_B)*2^E_A-E_B. Vajadusel võib järgneda mantissi nihutamine paremale ühe biti võrra (normeerimine) ja eksponendi inkrementeerimine, sest mantisside jagatise absoluutväärtus jääb 0,5 ja 2,0 vahele - 0,5≤|M_R|<2. Vajalik võib olla ka mantissi ümardamine.

Näited

1) 2,5 / 1,1 = 2,(27)

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0.1010000 | 0010 0.1000110 | 0001 01.0010010 | 0001 |M_R|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1

0.1001001 | 0010 2,28125₁₀

2) -2,2 / 1,1 = -2,0

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

1.0111010 | 0010 0.1000110 | 0001 11.0000000 | 0001 |M_R|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1

1.1000000 | 0010 -2,0₁₀

3) -0,056 / -2,2 = 0,025(45)

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

1.0001110 | 1100 1.0111010 | 0010 01.1010000 | 1010 |M_R|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1

0.1101000 | 1011 0,025390625₁₀

4) 0,6 / 0,8 = 0,75

A (M_A|E_A) B (M_B|E_B) R (M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0.1001101 | 0000 0.1100110 | 0000 00.1100000 | 0000 0.5≤|M_R|<1 --> OK

0.1100000 | 0000 0,75₁₀

3. Tehted (märk ja positiivne mantiss)

Tehete realiseerimisel on aluseks esitusviis (-1)^S*M*2^E, mille puhul peab arvestama alljärgnevaga:

Liitmisel ja lahutamisel peavad eksponendid (astendajad) olema võrdsed, et mantisse saaks liita (lahutada). Lisaks tuleb viia negatiivne mantiss täiendkoodi või kasutada tehete kombinatsioone (vt. allpool).
Korrutamisel mantissid korrutatakse ja eksponendid liidetakse. Tulemuse märgi määravad operandide märgid - kui märgid erinevad, on tulemus negatiivne (S_R=1).
Jagamisel mantissid korrutatakse ja eksponendid lahutatakse. Tulemuse märgi määravad operandide märgid - kui märgid erinevad, on tulemus negatiivne (S_R=1).

3.1. Liitmine ja lahutamine

Eksponentide võrdsustamine ja mantisside korrigeerimine toimub täpselt samamoodi, kui märgiga mantisside korral. Mantisside endi liitmisel/lahutamisel on kaks võimalust:

Kui operandi märk on 1 (negatiivne arv), leitakse vastava mantissi negatiivne väärtus (nt. täiendkoodis) ja teostatakse tehe otse.
Mantissid on alati positiivsed, kuid tehted teostatakse vastavalt allpool olevale tabelile, kus operandi absoluutväärtus ongi sisuliselt märgita mantiss. Eeliseks on kiirus, sest puudub vajadus mantisse eelnevalt teisendada, kuid lisab kontroll-loogikale keerukust.

A+B	B<0	B≥0	A-B	B<0	B≥0
A<0	-(\|A\|+\|B\|)	\|B\|-\|A\|	A<0	\|B\|-\|A\|	-(\|A\|+\|B\|)
A≥0	\|A\|-\|B\|	\|A\|+\|B\|	A≥0	\|A\|+\|B\|	\|A\|-\|B\|

Mõlema variandi puhul võib mantiss osutuda pärast tehet negatiivseks, mille tõttu tuleb siis leida mantissi absoluutväärtus ja märki inverteerida.

Järgnevates näidetes on mõlemad variandid eristatud, kui arvutuskäik on erinev.

1) 2,5 + 1,1 = 3,6

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid [variandid 1 & 2]

0|.1010000 | 0010 0|.1000110 | 0001 A>0, B>0 --> A+B=|A|+|B|

0.1010000 | 0010 0.1000110 | 0001 E_A>E_B --> M_B>>1 & E_B+1, pluss lisabitid

00.10100000 | 0010 00.01000110 | 0010 00.11100110 | 0010 M_A+M_B, 0.5≤|M_R|<1 --> OK, ka ümardada pole vaja

0|.1110011 | 0010 3,59375₁₀

2) 2,5 - 2,2 = 0,3

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid [variandid 1 & 2]

0|.1010000 | 0010 0|.1000110 | 0010 A>0, B≥0 --> A+B=|A|-|B|

0.1010000 | 0010 0.1000110 | 0010 E_A=E_B --> OK, pluss lisabitid

00.10100000 | 0010 00.10001100 | 0010 00.00010100 | 0010 M_A-M_B, |M_R|<0.5 --> M_R<<3 & E_R-3

0|.1010000 | 1111 0,3125₁₀

3) -2,2 - 2,5 = -4,7

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid [variant 1]

1|.1000110 | 0010 0|.1010000 | 0010 M_A=-M_A; E_A=E_B --> OK, pluss lisabitid

11.01110100 | 0010 00.10100000 | 0010 10.11010100 | 0010 |M_R|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1

1|.1001011 | 0011 -4,6875₁₀

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid [variant 2]

1|.1000110 | 0010 0|.1010000 | 0010 A<0, B≥0 --> A-B=-(|A|+|B|) [NB! S_R=1]

0|.1000110 | 0010 0|.1010000 | 0010 |A| + |B| E_A=E_B --> OK, pluss lisabitid

00.10001100 | 0010 00.10100000 | 0010 01.00101100 | 0010 |M_R|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1; M_R>0 --> S_R=1

1|.1001011 | 0011 -4,6875₁₀

4) (-2,2) - (-2,5) = 0,3

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid [variant 1]

1|.1000110 | 0010 1|.1010000 | 0010 M_A=-M_A, M_B=-M_B; E_A=E_B --> OK, pluss lisabitid

11.01110100 | 0010 11.01100000 | 0010 00.00010100 | 0010 |M_R|<0.5 --> M_R<<3 & E_R-3; M_R>0 --> S_R=0

0|.1010000 | 1111 0,3125₁₀

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid [variant 2]

1|.1000110 | 0010 1|.1010000 | 0010 A<0, B<0 --> A-B=|B|-|A|)

1|.1010000 | 0010 1|.1000110 | 0010 |B| - |A| E_A=E_B --> OK, pluss lisabitid

00.10100000 | 0010 00.10001100 | 0010 00.00010100 | 0010 |M_R|<0.5 --> M_R<<3 & E_R-3 M_R>0 --> S_R=0

0|.1010000 | 1111 0,3125₁₀

5) -2,5 + 1,1 = -1,4

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid [variant 1]

1|.1010000 | 0010 0|.1000110 | 0001 M_A=-M_A; E_A>E_B --> M_B>>1 & E_B+1, pluss lisabitid

11.01100000 | 0010 00.01000110 | 0010 11.10100110 | 0010 |M_R|<0.5 --> M_R<<1 & E_R-1; M_R<0 --> -M_R, S_R=1

1|.1011010 | 0001 -1,40625₁₀

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid [variant 2]

1|.1010000 | 0010 0|.1000110 | 0001 A<0, B≥0 --> A+B=|B|-|A|)

0|.1000110 | 0001 0|.1010000 | 0010 |B| - |A| E_A>E_B --> M_B>>1 & E_B+1, pluss lisabitid

00.01000110 | 0010 00.10100000 | 0010 11.10100110 | 0010 |M_R|<0.5 --> M_R<<1 & E_R-1 M_R<0 --> -M_R, S_R=1

1|.1011010 | 0001 -1,40625₁₀

3.2. Korrutamine

Korrutamine toimub praktiliselt samamoodi kui märgiga mantisside esitusviisi puhul - mantissid korrutatakse ja eksponendid liidetakse. Peamine erinevus seisneb selles, et mantissid on alati positiivsed ja vajalik võib olla normeerimine. Tulemuse märk leitakse operandide märkidest - võrdsete märkide korral on tulemus positiivne, vastasel juhul negatiivne.

Näited

1) 2,5 * 1,1 = 2,75

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0|.1010000 | 0010 0|.1000110 | 0001 A>0 & B>0 --> R>0; pluss lisabitid

0.1010000 | 0010 0.1000110 | 0001 00.01010111100000 | 0011 |M_R|<0.5 --> M_R<<1 & E_R-1

0|.1010111 | 0010 2,71875₁₀ - lõigatud

0|.1011000 | 0010 2,75₁₀ - ümardatud

2) 1,1 * (-2,2) = -2,42

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0|.1000110 | 0001 1|.1000110 | 0010 A>0 & B<0 --> R<0; pluss lisabitid

0.1000110 | 0001 0.1000110 | 0010 00.01001100100100 | 0011 |M_R|<0.5 --> M_R<<1 & E_R-1

1|.1001100 | 0010 -2,375₁₀ - lõigatud

1|.1001101 | 0010 -2,40625₁₀ - ümardatud

3) (-2,2) * (-0,056) = 0,1232

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

1|.1000110 | 0010 1|.1110010 | 1100 A<0 & B<0 --> R>0; pluss lisabitid

0.1000110 | 0010 0.1110010 | 1100 00.01111100101100 | 1110 |M_R|<0.5 --> M_R<<1 & E_R-1

0|.1111100 | 1101 0,12109375₁₀ - lõigatud

0|.1111101 | 1101 0,1220703125₁₀ - ümardatud

4) 0,8 * 0,8 = 0,64

A (S_A|M_A|E_A) B (S_B|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0|.1100110 | 0000 0|.1100110 | 0000 A>0 & B>0 --> R>0; pluss lisabitid

0.1100110 | 0000 0.1100110 | 0000 00.10100010100011 | 0000 0.5≤|M_R|<1 --> OK

0|.1010001 | 0000 0,6328125₁₀ - lõigatud==ümardatud

3.3. Jagamine

Ka jagamine toimub praktiliselt samamoodi kui märgiga mantisside esitusviisi puhul - mantissid jagatakse ja eksponendid lahutatakse. Peamine erinevus seisneb selles, et mantissid on alati positiivsed ja vajalik võib olla normeerimine. Tulemuse märk leitakse operandide märkidest - võrdsete märkide korral on tulemus positiivne, vastasel juhul negatiivne.

Näited

1) 2,5 / 1,1 = 2,(27)

A (S_A|M_A|E_A) B (S_A|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0|.1010000 | 0010 0|.1000110 | 0001 A>0 & B>0 --> R>0, pluss lisabitid

0.1010000 | 0010 0.1000110 | 0001 01.0010010 | 0001 |M_R|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1

0|.1001001 | 0010 2,28125₁₀

2) -2,2 / 1,1 = -2,0

A (S_A|M_A|E_A) B (S_A|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

1|.1000110 | 0010 0|.1000110 | 0001 A<0 & B>0 --> R<0, pluss lisabitid

0.1000110 | 0010 0.1000110 | 0001 01.0000000 | 0001 |M_R|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1

1|.1000000 | 0010 -2,0₁₀

3) -0,056 / -2,2 = 0,025(45)

A (S_A|M_A|E_A) B (S_A|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

1|.1110010 | 1100 1|.1000110 | 0010 A<0 & B<0 --> R>0, pluss lisabitid

0.1000110 | 1100 0.1000110 | 0010 01.1010000 | 1010 |M_R|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1

0.1101000 | 1011 0,025390625₁₀

4) 0,6 / 0,8 = 0,75

A (S_A|M_A|E_A) B (S_A|M_B|E_B) R (S_R|M_R|E_R) Tegevus / kommentaarid

0|.1001101 | 0000 0|.1100110 | 0000 A>0 & B>0 --> R>0, pluss lisabitid

0.1001101 | 0000 0.1100110 | 0000 00.1100000 | 0000 0.5≤|M_R|<1 --> OK

0|.1100000 | 0000 0,75₁₀

4. IEEE-754 esitusviisi iseärasused

IEEE-754 formaat on oma olemuselt sarnane positiivse (märgita) mantissiga esitusele, kuid lisaks on veel mõned erisused. Esiteks on normeeritud mantissis kirjas üks bitt vähem, sest vanim järk (täisosa) on alati 1 ja denormeeritud mantissi puhul alati 0. Mantiss (normeeritult) on seega vähemalt 1,0, kuid väiksem 2,0-st. Teiseks on baas kas 2 või 10 ja lisaks veel kõrvalekaldega (mitte täiendkoodis), mis annab võimaluse esitada erijuhte ("00...00" - denormeeritud mantiss, "11...11" - ületäitumised). Lisaks on veel ka mitmeid ümardamisvõimalusi.

Ka on sõnade pikkused satandardiseeritud, kuigi on lubatud ka erijuhud. Enim kasutatud on 32- ja 64-bitised esitused (vastavalt single-precsision ja double-precsision). Täpsem info vt. linkidelt allpool. Esitatud näited kasutavad 16-bitist formaati (half-precision), milles esimene bitt on märk, järgneb 5-bitine eksponent (baas 2 ja kõrvalekalle 15) ja 11-bitine mantiss (täisosa, st. 1. puudub!).

10-arv 2-arv M₂*2^E₂ S E₂+01111₂ M₂ [M₁₀*2^E₁₀] [10-arv]

2,5 10.1 1.0100000000*2¹ 0 10000 0100000000 1,25*2¹ 2,5

1,1 1.0(0011) 1.0001100110*2⁰ 0 01111 0001100110 1,099609375*2⁰ 1,099609375

-2,2 -10.(0011) -1.0001100110*2¹ 1 10000 0001100110 1,099609375*2¹ -2,1992187500

-0,056 -0.0000111001010110... -1.1100101011*2^-101 0 01010 1100101011 -1,7919921875*2^-5 -0,055999755859375

1,0 1.0 1.0*2⁰ 0 01111 0000000000 1,0*2⁰ 1,0

+0,0 0.0 0 00000 0000000000 +0,0

-0,0 -0.0 1 00000 0000000000 -0,0

+∞ 0 11111 0000000000 +∞

-∞ 1 11111 0000000000 -∞

Lisainfo

NB! Toodud loetelu pole lõplik.

Vikipeedia: Ujukomaarv
Wikipedia: Floating-point arithmetic
Wikipedia: IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754)

Wikipedia: Single-precision floating-point format
Wikipedia: Double-precision floating-point format
Wikipedia: Half-precision floating-point format

Aritmeetika - algoritmide simulaator.

Viimati muudetud 2.12.2021

10-arv	M₁₀*10^E₁₀	2-arv	M₂*2^E₂	M₂	E₂	[M₁₀*2^E₁₀]	[10-arv]
2,5	0,25*10¹	10.1	0.101*2¹⁰	0.1010000	0010	0,625*2²	2,5
1,1	0,11*10¹	1.0(0011)	0.10(0011)*2¹	0.1000110	0001	0,546875*2¹	1,09375
-2,2	-0,22*10¹	-10.(0011)	-0.10(0011)*2¹⁰	1.0111010	0010	-0,546875*2²	2,1875
-0,056	-0,56*10^-1	-0.0000111001010110...	-0.111001010110...*2^-100	1.0001110	1100	-0,890625*2^-4	-0,0556640625

A (M_A\|E_A)	B (M_B\|E_B)	R (M_R\|E_R)	Tegevus / kommentaarid
0.1010000 \| 0010	0.1000110 \| 0001		E_A>E_B --> M_B>>1 & E_B+1, pluss lisabitid
00.10100000 \| 0010	00.01000110 \| 0010	00.11100110 \| 0010	M_A+M_B, 0.5≤\|M_R\|<1 --> OK, ka ümardada pole vaja
		0.1110011 \| 0010	3,59375₁₀

A (S_A\|M_A\|E_A)	B (S_B\|M_B\|E_B)	R (S_R\|M_R\|E_R)	Tegevus / kommentaarid [variandid 1 & 2]
0\|.1010000 \| 0010	0\|.1000110 \| 0001		A>0, B>0 --> A+B=\|A\|+\|B\|
0.1010000 \| 0010	0.1000110 \| 0001		E_A>E_B --> M_B>>1 & E_B+1, pluss lisabitid
00.10100000 \| 0010	00.01000110 \| 0010	00.11100110 \| 0010	M_A+M_B, 0.5≤\|M_R\|<1 --> OK, ka ümardada pole vaja
		0\|.1110011 \| 0010	3,59375₁₀

A (S_A\|M_A\|E_A)	B (S_A\|M_B\|E_B)	R (S_R\|M_R\|E_R)	Tegevus / kommentaarid
0\|.1010000 \| 0010	0\|.1000110 \| 0001		A>0 & B>0 --> R>0, pluss lisabitid
0.1010000 \| 0010	0.1000110 \| 0001	01.0010010 \| 0001	\|M_R\|≥1.0 --> M_R>>1 & E_R+1
		0\|.1001001 \| 0010	2,28125₁₀